Вычислить, найти энергию кванта по формуле (2). Фотонная теория света. Масса, энергия и импульс фотона От чего зависит энергия кванта света

06.03.2024

В современной трактовке гипотеза квантов утверждает, что энергия E колебаний атома или молекулы может быть равна h ν, 2h ν, 3h ν и т.д., но не существует колебаний с энергией в промежутке между двумя последовательными целыми, кратными . Это означает, что энергия не непрерывна, как полагали на протяжении столетий, а квантуется , т.е. существует лишь в строго определенных дискретных порциях. Наименьшая порция называется квантом энергии . Гипотезу квантов можно сформулировать и как утверждение о том, что на атомно-молекулярном уровне колебания происходят не с любыми амплитудами. Допустимые значения амплитуды связаны с частотой колебания ν .

В 1905 г. Эйнштейн выдвинул смелую идею, обобщавшую гипотезу квантов, и положил ее в основу новой теории света (квантовой теории фотоэффекта). Согласно теории Эйнштейна, свет с частотой ν не только испускается , как это предполагал Планк, но и распространяется и поглощается веществом отдельными порциями (квантами) , энергия которых . Таким образом, распространение света нужно рассматривать не как непрерывный волновой процесс, а как поток локализованных в пространстве дискретных световых квантов, движущихся со скоростью распространения света в вакууме (с ). Квант электромагнитного излучения получил название фотон .

Как мы уже говорили, испускание электронов с поверхности металла под действием падающего на него излучения соответствует представлению о свете как об электромагнитной волне, т.к. электрическое поле электромагнитной волны воздействует на электроны в металле и вырывает некоторые из них. Но Эйнштейн обратил внимание на то, что предсказываемые волновой теорией и фотонной (квантовой корпускулярной) теорией света детали фотоэффекта существенно расходятся.

Итак, мы можем измерить энергию вылетевшего электрона, исходя из волновой и фотонной теории. Чтобы ответить на вопрос, какая теория предпочтительней, рассмотрим некоторые детали фотоэффекта.

Начнем с волновой теории, и предположим, что пластина освещается монохроматическим светом . Световая волна характеризуется параметрами: интенсивностью и частотой (или длиной волны ). Волновая теория предсказывает, что при изменении этих характеристик происходят следующие явления:

· при увеличении интенсивности света число выбитых электронов и их максимальная энергия должны возрастать, т.к. более высокая интенсивность света означает большую амплитуду электрического поля, а более сильное электрическое поле вырывает электроны с большей энергией;

выбитых электронов; кинетическая энергия зависит только от интенсивности падающего света.

Совершенно иное предсказывает фотонная (корпускулярная) теория. Прежде всего, заметим, что в монохроматическом пучке все фотоны имеют одинаковую энергию (равную h ν). Увеличение интенсивности светового пучка означает увеличение числа фотонов в пучке, но не сказывается на их энергии, если частота остается неизменной. Согласно теории Эйнштейна, электрон выбивается с поверхности металла при соударении с ним отдельного фотона. При этом вся энергия фотона передается электрону, а фотон перестает существовать. Т.к. электроны удерживаются в металле силами притяжения, для выбивания электрона с поверхности металла требуется минимальная энергия A (которая называется работой выхода и составляет, для большинства металлов, величину порядка нескольких электронвольт). Если частота ν падающего света мала, то энергии и энергии фотона недостаточно для того, чтобы выбить электрон с поверхности металла. Если же , то электроны вылетают с поверхности металла, причем энергия в таком процессе сохраняется, т.е. энергия фотона (h ν) равна кинетической энергии вылетевшего электрона плюс работе по выбиванию электрона из металла:

(2.3.1)

Уравнение (2.3.1) называется уравнением Эйнштейна для внешнего фотоэффекта.

На основе этих соображений, фотонная (корпускулярная) теория света предсказывает следующее.

1. Увеличение интенсивности света означает увеличение числа налетающих фотонов, которые выбивают с поверхности металла больше электронов. Но так как энергия фотонов одна и та же, максимальная кинетическая энергия электрона не изменится (подтверждается I закон фотоэффекта ).

2. При увеличении частоты падающего света максимальная кинетическая энергия электронов линейно возрастает в соответствии с формулой Эйнштейна (2.3.1). (Подтверждение II закона фотоэффекта ). График этой зависимости представлен на рис. 2.3.

Рис. 2.3

3. Если частота ν меньше критической частоты , то выбивание электронов с поверхности не происходит (III закон ).

Итак, мы видим, что предсказания корпускулярной (фотонной) теории сильно отличаются от предсказаний волновой теории, но очень хорошо совпадают с тремя экспериментально установленными законами фотоэффекта.

Уравнение Эйнштейна было подтверждено опытами Милликена, выполненными в 1913–1914 гг. Основное отличие от опыта Столетова в том, что поверхность металла подвергалась очистке в вакууме. Исследовалась зависимость максимальной кинетической энергии от частоты и определялась постоянная Планка h .

В 1926 г. российские физики П.И. Лукирский и С.С. Прилежаев для исследования фотоэффекта применили метод вакуумного сферического конденсатора. Анодом служили посеребренные стенки стеклянного сферического баллона, а катодом – шарик (R ≈ 1,5 см) из исследуемого металла, помещенного в центр сферы. Такая форма электродов позволяла увеличить наклон ВАХ и тем самым более точно определить задерживающее напряжение (а следовательно, и h ). Значение постоянной Планка h , полученное из этих опытов, согласуется со значениями, найденными другими методами (по излучению черного тела и по коротковолновой границе сплошного рентгеновского спектра). Все это является доказательством правильности уравнения Эйнштейна, а вместе с тем и его квантовой теории фотоэффекта.

Для объяснения теплового излучения Планк предположил, что свет испускается квантами. Эйнштейн при объяснении фотоэффекта предположил, что свет поглощается квантами. Также Эйнштейн предположил, что свет и распространяется квантами, т.е. порциями. Квант световой энергии получил название фотон . Т.е. опять пришли к понятию корпускула (частица).

Наиболее непосредственное подтверждение гипотезы Эйнштейна дал опыт Боте, в котором использовался метод совпадения (рис. 2.4).

Рис. 2.4

Тонкая металлическая фольга Ф помещалась между двумя газоразрядными счетчиками Сч . Фольга освещалась слабым пучком рентгеновских лучей, под действием которых она сама становилась источником рентгеновских лучей (это явление называется рентгеновской флуоресценцией). Вследствие малой интенсивности первичного пучка, количество квантов, испускаемых фольгой, было невелико. При попадании квантов на счетчик механизм срабатывал и на движущейся бумажной ленте делалась отметка. Если бы излучаемая энергия распространялась равномерно во все стороны, как это следует из волновых представлений, оба счетчика должны были срабатывать одновременно и отметки на ленте приходились бы одна против другой. В действительности же наблюдалось совершенно беспорядочное расположение отметок. Это можно объяснить лишь тем, что в отдельных актах испускания возникают световые частицы, летящие то в одном, то в другом направлении. Так было экспериментально доказано существование особых световых частиц – фотонов.

Фотон обладает энергией . Для видимого света длина волны λ = 0,5 мкм и энергия Е = 2,2 эВ, для рентгеновских лучей λ = мкм и Е = 0,5 эВ.

Фотон обладает инертной массой , которую можно найти из соотношения :

;

(2.3.2)

Фотон движется со скоростью света c = 3·10 8 м/с. Подставим это значение скорости в выражение для релятивистской массы:

Фотон – частица, не обладающая массой покоя. Она может существовать, только двигаясь со скоростью света c .

Найдем связь энергии с импульсом фотона.

Мы знаем релятивистское выражение для импульса:

(2.3.3)

И для энергии:

(2.3.4)

В этом разделе мы рассмотрим явления, связанные с взаимодействием света i с веществом: тепловое излучение, фотоэффект и эффект Комптона.

Закономерности этих явлений хорошо объясняются только на основе квантовых представлений, т.е. в предположении, что свет – это частицы (кванты, фотоны).

ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

При переходе электрона в возбужденном атоме на более низкий энергетический уровень атом излучает квант энергии  электромагнитное излучение с определенной длиной волны. Если вещество представляет собой разреженный газ, в котором атомы практический не взаимодействуют друг с другом, то излучение состоит из определенного набора волн. Разлагая излучение разреженного газа в спектр, мы будем наблюдать отдельные линии (линейчатый спектр ). Если газ образуют молекулы, которые вращаются, а атомы в них совершают колебания, то изменения в этих движениях (переходы) также сопровождаются излучением электромагнитных волн определенных частот. Так как при таких переходах энергия меняется значительно меньше, чем при электронных, линии в спектре будут располагаться более тесно, образуя полосы (полосатые спектры ). Жидкости, в которых имеется сильное взаимодействие молекул между собой, также дают полосатые спектры излучения.

Излучение твердого тела дает сплошной спектр . Твердое тело можно представить себе как множество осцилляторов (излучателей), колеблющихся с самыми разнообразными частотами. Молекулыосцилляторы находятся в непрерывном тепловом движении. Взаимодействуя друг с другом, они изменяют свои скорости, вследствие чего происходит излучение электромагнитных волн всевозможных частот. При температурах свыше 700 о С излучение становится видимым («красное каление»), при более высоких температурах наблюдается «белое каление

Излучение электромагнитных волн, происходящее за счет энергии теплового движения молекул, называют тепловым излучением . Если излучение находится в равновесии с излучающим телом, то излучение называют равновесным тепловым излучением. ii

Рассмотрим физические величины, характеризующие тепловое излучение. При этом мы не будем касаться углового распределения излучения, т.к. оно представляет чисто технический интерес при конструировании источников света.

Интегральные характеристики :

W (Дж)		энергия , излучаемая по всем длинам волн во всех направлениях
Дж/с = Вт		поток излучаемой энергии или мощность излучения  по смыслу это энергия, излучаемая в единицу времени
	Дж/(с.м 2) = =Вт/м 2	энергетическая (интегральная) светимость – это энергия, излучаемая в единицу времени с единичной площади по всем длинам волн iii

В спектре излучения твердого тела на разные длины волн приходится различная энергия, поэтому вводятся спектральные характеристики , учитывающие распределение излучаемой энергии по различным длинам волн:

Дж/(с.м 2 .м) =Вт/м 3		излучательная способность (лучеиспускательная способность, спектральная плотность потока излучения)  это энергия, излучаемая в единицу времени единицей площади в единичном интервале длин волн ( - длина волны излучения)
		в единичном интервале частот ( - частота излучения)
		поглощательная способность (коэффициент поглощения)  это отношение поглощенного к падающему потоков, взятых в узком интервале длин волн вблизи данной длины волны iv
		отражательная способность (коэффициент отражения)  это отношение отраженного к падающему потоков, взятых в узком интервале длин волн вблизи данной длины волны
	соотношение между коэффициентами отражения и поглощения, следует из закона сохранения энергии

Энергетическая светимость R зависит только от температуры тела R = R (Т) , спектральные характеристики излучения  r , а и  зависят как от температуры, так и от длины волны света  : r = r ( ,Т ), а = а ( ,Т ) и  =  ( ,Т ).



связь между излучательной способностью и энергетической светимостью в дифференциальной и интегральной формах для длин волн и частот

с – скорость света в вакууме



Если в каких-либо формулах мы хотим перейти от  к  (и наоборот), следует приравнивать общее количество энергии, излученной в интервалах d  и d  :

dR=r   d  = r   d 

r  = r  (d  / d  )

При исследовании теплового излучения используется научная абстракция  абсолютно черное тело (АЧТ) – это тело, которое поглощает всё, падающее на него излучение, т.е. коэффициент поглощения АЧТ а АЧТ = 1. Реальной моделью АЧТ может служить замкнутая полость с небольшим отверстием, цилиндр с перегородками, конус (см. рис.). На конусной установке можно получить коэффициент поглощения 0,99999. Если поддерживать температуру указанных тел постоянной, то из отверстия будет выходить электромагнитное излучение всевозможных длин волн, близкое к равновесному излучению АЧТ.

Еще одной моделью излучения реальных тел является серое тело – это тело, у которого коэффициент поглощения меньше единицы и при данной температуре является постоянным для всех длин волн. Кривая излучения серого тела повторяет ход кривой излучения АЧТ (см. дальше) при той же температуре, но идет ниже.

		Закон Кирхгофа : «Для всех тел отношение излучательной способности к его поглощательной способности при данной температуре Т и данной длине волны  является постоянным и равным излучательной способности АЧТ при тех же Т и  ». Следствия из закона Кирхгофа :
	Все реальные тела при данной температуре излучают всегда меньше, чем АЧТ; r = r o  a  r o , т.к. для всех тел a  1
	Если тело не поглощает каких-либо волн, оно и не будет их излучать, поэтому спектры излучения и спектры поглощения идентичны, но как бы перевернуты (максимум на одном соответствует минимуму на другом)
	Тело, которое сильно поглощает, должно и сильно излучать. Если на пластине на белом фоне нарисовать черный крест, то при нагревании крест будет светиться более интенсивно, чем фон. 1 .

В физике часто рассматривается модель, в которой тело находится в термодинамическом равновесии с собственным излучением. В этом случае принято говорить о «чёрном теле» и о «чернотельном излучении». Поле излучения внутри чёрного тела однозначно определяется его температурой. Исследование спектра чёрного тела явилось началом теории атома. Хотя излучение чёрного тела в области малых частот может быть объяснено в рамках классической физики, его полный анализ можно провести только в рамках квантовой теории. Это следует хотя бы из того, что в аналитические формулы, описывающие спектр чёрного тела, входит введённаяПланком постоянная ħ . Строго говоря, в природе абсолютно чёрное тело в чистом виде не существует, но его моделью может служить замкнутая полость с малым отверстием (рис.2.1).

Спектральную плотность излучения чёрного тела будем обозначать U ω . Её размерность - эрг/(см 3 · рад/с). Из соотношения

(1)ω = 2π n

между круговой ω и линейной n частотой следует, что U ω в 2π раз меньше плотности энергии U n , рассчитанной на один герц:

U n = 2π U ω .

В теоретических построениях часто пользуются величиной U ω , а в практических расчётах предпочитают U n . Важную роль в приложениях играет интенсивность излучения, которую для случая чёрного тела принято обозначать B ω и B n .

Результаты наблюдений часто рассчитываются на единицу длины волны l , а не частоты. Соответствующая интенсивность обозначается B l , а плотность энергии - U l . Количество энергии в определённом спектральном интервале, конечно, не зависит от выбора шкалы, поэтому U ω , U n и U l связаны друг с другом соотношением

Диапазоны длин волн D l и частот D ω и D n определяются функциональной зависимостью

(3)l = с / n ,n = 2π ω,

из которой следует

Следует обратить внимание на то, что спектральные интервалы равны модулям дифференциалов соответствующих переменных. Например, из (2.3) следует отрицательное значение производной d l /d n , в то время как D l и D ω существенно положительные величины.

Поле излучения внутри чёрного тела изотропно, поэтому его поток равен нулю. Тем не менее, существует специальная модель, в которой рассматривается не внутренняя область, а граница изотропного источника. Излучение границы анизотропно и, следовательно, поток от неё отличен от нуля. В рамках такой модели справедлив известный закон Стефана–Больцмана для полного, проинтегрированного по всему спектру потока излучения от чёрного тела: поток пропорционален четвёртой степени температуры.

2.1. Особенности спектра излучения

В этом разделе мы изложим основные результаты экспериментов, на которых основана теория чёрнотельного излучения.

Формула Рэлея-Джинса

В диапазоне предельно малых частот,

именуемом областью Рэлея–Джинса, плотность энергии пропорциональна температуре T и квадрату частоты ω:

На рис.2.1.1 эта область помечена РД. Формула Рэлея-Джинса может быть выведена чисто

классическим путём, без привлечения квантовых представлений. Чем выше температура чёрного тела, тем шире диапазон частот, в котором справедлива эта формула. Она объясняется в классической теории, но её нельзя распространять на высокие частоты (пунктирная линия на рис.2.1.1), так как просуммированная по спектру плотность энергии в этом случае бесконечно велика:

Эту особенность закона Рэлея-Джинса называют«ультрафиолетовой катастрофой».

Формула Вина.

В диапазоне больших частот (область В на рис.2.1.1) справедлива формула Вина:

Хорошо видно, что правая часть меняется немонотонно. Если частота не слишком велика, то преобладает множитель ω 3 и функция U ω возрастает. По мере увеличения частоты рост U ω замедляется, она проходит через максимум, а затем убывает за счёт экспоненциального множителя. Наличие максимума в спектре излучения отличает виновский диапазон от области Рэлея-Джинса.

Чем больше температура тела, тем выше граничная частота, начиная с которой выполняется формула Вина. Величина параметра a в экспоненте правой части зависит от выбора единиц, в которых измеряются температура и частота. Вывод формулы Вина требует привлечения квантовых представлений о природе света.

Закон смещения Вина

Обозначим ω max частоту максимума функции Планка. Закон смещения Вина гласит, что она пропорциональна температуре, следовательно:

Константа в правой части зависит от выбора единиц частоты и температуры. Кроме того, она различна для функций B n и B l .

Закон Стефана-Больцмана.

Закон Стефана-Больцмана заключается в том, что плотность энергии чёрнотельного излучения, проинтегрированная по всем частотам, пропорциональна четвёртой степени температуры:

Он часто используется в астрономии при определении светимости звезды по её температуре. Для этого необходимо перейти от плотности излучения к наблюдаемой величине - потоку. Формула для интегрального по спектру потока излучения будет выведена в третьей главе.

2.2. Число осцилляторов в единице объёма

Попытаемся объяснить все приведённые выше экспериментальные факты. Для этого введём представление об осцилляторах, или о стоячих волнах внутри некоторой полости (например, как на рис.2.1). Количество энергии излучения U ω d ω определяется числом осцилляторов dN ω в интервале частот (ω, ω + d ω), в объеме V , при средней энергии одного осциллятора < E >:

Перейдём к вычислению dN ω и < E >.

Число осцилляторов

Подсчёт числа осцилляторов мы выполним по методу, предложенному Рэлеем и реализованному Джинсом. Число осцилляторов dN ω равно количеству стоячих волн в рассматриваемом объеме. Подсчёт числа колебаний можно выполнить и в терминах длин волн

для интервала от l до l + d l , но удобнее проводить его в шкале волновых чисел

для интервала от k до k + dk . Рассмотрим волны в кубе L Î L Î L . Введём волновой вектор k проекции которого на оси координат равны k x , k y , k z . Внутри рассматриваемого объёма по каждому направлению должно укладываться целое число волн:

где N x , N y и N z - целые положительные числа. Совокупность таких значений k x , k y , k z обеспечивает наличие узлов на гранях куба. Модуль k волнового вектора выражается через его проекции, как модуль любого вектора:

Для нахождения числа осцилляторов удобно воспользоваться простым геометрическим приёмом. Выберем N x , N y и N z из формулы (2.4) за координатные оси в воображаемом пространстве чисел. На рис. 2.1 изображена часть этого пространства. Каждой тройке чисел N x , N y и N z на этом рисунке отвечает точка. Введём величину

Если числа N x , N y и N z достаточно велики, то их функция N будет меняться почти непрерывно и на рис.(2.1) изобразится радиус-вектором. Согласно (2.4–6), модуль волнового вектора однозначно выражается через N :

Отсюда следует, что число волн с модулем волнового вектора, лежащим в интервале от k до k + dk , равно числу чисел N в интервале от N до N + dN . Последнее равно числу точек, попадающих в шаровой слой между сферами радиусом N и N + dN , а именно,

Таким образом, число волн, или число осцилляторов с величиной волнового числа между k и k + dk и с определённым направлением поляризации в объёме V = L 3 равно

Последнее равенство справа получилось после дифференцирования (2.7). Нам осталось умножить полученное выражение на 2 - число независимых направлений поляризации излучения, и, воспользовавшись формулой (2.3), перейти к шкале частот:

В силу большой важности (2.8), приведём другой его вывод, основанный на формуле (2.3) первой главы

для числа квантовых состояний dN в элементе фазового объёма d G . Проинтегрировав последнюю формулу по всем пространственным координатам, получим, что число квантов в объёме V и в элементе dp x dp y dp z пространства импульсов равно V dp x dp y dp z /h 3 . Теперь перейдём к сферическим координатам в пространстве импульсов

dp x dp y dp z = p 2 dp sinq d j d q

и проинтегрируем по угловым переменным:

Итак, в пространстве импульсов объём шарового слоя радиусом p и толщиной dp равен 4πp 2 dp . С помощью формулы p =ħ ω/ c перейдём от интервала импульсов фотона к диапазону частот излучения:

откуда следует выражение для числа квантов в объёме V и в интервале частот d ω с заданным направлением поляризации:

Если теперь учесть наличие у фотона двух независимых поляризаций, то снова получится формула (2.8). Примечательно, что она не содержит постоянной Планка. Это обстоятельство служит указанием на то, что она может быть получена в рамках классического рассмотрения.

Теперь вычислим среднюю энергию осциллятора. Рассмотрим последовательно случаи классического и квантового осцилляторов

2.3 Средняя энергия классического осциллятора

Энергия одномерного осциллятора выражается через импульс p и координату q :

В классической статистике равновесное распределение частиц (в данном случае осцилляторов) по энергиям определяется формулой

Поэтому средняя энергия равна

Введем обозначения

В последнем интеграле переменные P и Q разделяются. После сокращения общих множителей в числителе и знаменателе приходим к формуле

Интегралы в числителе и знаменателе обоих слагаемых могут быть приведены к виду

Поскольку в нашем случае n принимает только два значения: 0 и 2, то подынтегральная функция в (3.2) - четная и выражение для интегралов I 0,2 могут быть записаны в виде

С помощью последней формулы перепишется выражение для энергии:

Для вычисления интегралов I n воспользуемся определением гамма–функции

из которого следует

Тогда интегралы I n запишутся в виде

Теперь можно выписать интересующее нас выражение для средней

энергии одномерного осциллятора

Мы получили известный результат: в состоянии термодинамического равновесия на каждую степень свободы приходится энергия T /2, а в сумме на один осциллятор - энергия T .

Вернемся к формуле (2.1). Подставляя в неё величину средней энергии из (3.3), получим

Итак, закон Рэлея–Джинса получается на основании классических рассуждений.

2.4 Квантовый осциллятор

Как отмечалось выше, формулу Вина нельзя получить на основании классических представлений. Планку удалось воспроизвести спектр излучения чёрного тела во всём диапазоне частот после того, как он высказал предположение о дискретности энергетического спектра осцилляторов. Гипотеза Планка входила в явное противоречие с представлениями классической физики. Согласно Планку, испускание и поглощение излучения происходит порциями энергии (квантами)

(4.1)ε=ħ ω,

где ω - частота осциллятора. Сам осцилляторнаходится в дискретных энергетических состояниях

(4.2)E = E n = n ε = n ħ ω,

пронумерованных целым неотрицательным числом

(4.3)n = 0, 1, 2, …

Таким образом, энергетические уровни осциллятора образуют, как говорят, эквидистантный спектр: разность энергии любых двух соседних уровней одна и та же - ħ ω. Спектр энергии в таком случае представляет собой дискретный набор уровней. Осциллятор может находится в каждом из этих состояний, а при переходах между соседними состояниями излучается или поглощается энергия ħ ω.

Согласно гипотезе Планка, чтобы найти среднюю энергию одномерного осциллятора, нужно интегралы в (3.1) заменить суммами:

Введя обозначение

перепишем выражение для в виде:

Делитель

(4.5)B = 1 + e –x + e – 2x + e – 3x + …+e –nx + …

представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем e –x :

Если продифференцировать ряд (4.5) по x , то получим

откуда следует выражение для A :

Теперь легко убедиться, что искомое отношение A/B равно

Итак, средняя энергия кванта определяется температурой излучения T и элементарной порцией энергии ħ ω:

Полезно выделить так называемые числа заполнения

которые представляют собой число фотонов, приходящихся на одну моду колебаний. Тогда

Подставляя (4.6) и (2.8) в (2.1), получим полное выражение для плотности энергии с учётом квантовых эффектов:

Это есть окончательное выражение для формулы Планка, дающей спектр излучения абсолютно чёрного тела во всём диапазоне частот. Спектральное распределение числа фотонов легко получается из плотности энергии:

Ниже будут приведены формулы для интенсивности излучения и потока от границы чёрного тела.

2.5 Примеры

В каких условиях можно ожидать проявления квантовых свойств осцилляторов? В общем случае - когда малы числа заполнения. Рассмотрим следующие примеры.

1) Макроскопический случай. Частота колебаний механических приборов - пружин, маятников - по порядку величины близка к обратной секунде: ω ~ 1 с – 1 . Соответствующий квант энергии равен

ε = ħ ω ~ 10 –27 эрг ~ 10 –15 эВ ~ 10 –11 К.

Энергетическая щель между уровнями получилась настолько малой, что ни при каких достижимых в настоящее время температурах квантования таких осцилляторов мы наблюдать не можем.

2) Радиодиапазон . Длина волны, на которой работает 100–метровый телескоп под Бонном, равна 6 см. Частота излучения равна ω = 2π c/l ~ 3·10 10 с –1 , а энергия кванта

ε ~ 3·10 –17 эрг ~ 3·10 –5 эВ ~ 0.3 К.

Известно, что этот инструмент в состоянии измерять потоки радиоизлучения около 10 –28 /(Вт м‍ –‍2 Гц) в полосе частот D n от 200 МГц до 500 МГц. Примем

D n = 300 МГц = 3·10 8 Гц.

Поток излучения во всей полосе частот равен

3·10 –20 Вт м –2 =3·10 –17 эрг см –2 с –1 .

Сравнивая эту величину с энергией кванта 10 –17 эрг, приходим к выводу, что телескоп регистрирует в среднем приход трёх фотонов за секунду на один квадратный сантиметр. Здесь уже могут проявляться квантовые свойства излучения. Однако возникает непростой вопрос: как на площадке размером один квадратный сантиметр локализуется фотон с длиной волны 6 см. Этот вопрос мы рассмотрим ниже.

3) Атом. Характерная частота в данном случае равна частоте обращения электрона вокруг ядра и, согласно приведённым выше оценкам, составляет примерно ω ~ 10 16 с –1 . Отсюда следует диапазон энергий:

ε ~ 10 –11 эрг ~ 10 эВ ~ 10 5 К.

В этом случае дискретность энергетических уровней является основным фактором.

2.6 Предельные случаи формулы Планка

Сведения о предельных случаях больших и малых частот собраны в таблице. Слева - низкие частоты (область Рэлея–Джинса), справа - высокие (область Вина).


Большое число осцилляторов задействовано в колебаниях	Заселение возбуждённых состояний осциллятора экспоненциально малó


U ω d ω = ħ ω 3 exp(–ħ ω/T ) d ω/(π 2 c 3)

Формулы в последней строке таблицы представляют собой предельные случаи функции Планка.

2.7 Закон смещения Вина

Как мы видели выше, плотность энергии чёрнотельного излучения как функция частоты при фиксированной температуре не является монотонной: она возрастает в классическом диапазоне спектра, пока энергия квантов значительно меньше температуры, и убывает при где

Максимум функции f W(x ) приходится на значение аргумента

Так как e 3 ≈ 20, то максимум действительно находится в виновской области спектра, причём ошибка приближения (7.5) не должна превосходить пяти процентов.

Уточним полученную величину частоты максимума. Для этого формулу Планка (4.7)выразим в безразмерной форме

Условие df / dx = 0 приводит к трансцендентному уравнению

3(1 – e –x ) = x .

Согласно решению задачи о максимуме функции Вина, будем искать корень последнего уравнения в виде x =3 –δ, предполагая малое значение δ. Запишем уравнение для δ:

δ = e –3+ δ

и разложим экспоненту e δ по малому параметру

e δ ≈ 1 + δ + δ2/2.

Уравнение из трансцендентного относительно x становится квадратным по δ:

Нужный нам корень равен

x = 3 – δ = 2.822.

Подставляя полученное значение x в (7.2) и выражая температуру в градусах Кельвина, приходим к формулировке закона смещения Вина в шкале частот:

Здесь длина волны выражена в сантиметрах.

2.8 Частота максимума в шкале длин волн .

Выше мы упоминали о двух способах представления спектральных характеристик плотности энергии излучения: в расчёте на единицу частоты U ω и на единицу длины волны U

Проделав выкладки, аналогичные выполненным в предыдущем разделе, для разности

δ = 5 – x

и, соответственно,

Выпишем закон смещения Вина для распределения спектра по длинам волн:

(8.5)T ·l max = 0.28979 см·К,

где температура выражена в градусах Кельвина, а длина волны - в сантиметрах.

Итак, максимум функции Планка приходится на разные длины волн, в зависимости от того, изучаем мы распределение по частотам или по длинам волн. Например, Солнце светит наиболее ярко на длине волны 5500Å, если измерения ведутся в шкале длин волн, и 8800Å - в шкале частот. Восприятие света человеческим глазом ближе к шкале длин волн. Поэтому в оценках положения максимума в спектре излучения Солнца обычно принято пользоваться формулой (8.5). Однако, если мы имеем дело со спектральным прибором, работающим в шкале частот - например, со спектральной решёткой, - то правильный результат даёт (7.6).

У всех классических механических волн (в жидкостях, газах и твердых телах) главный параметр, определяющий энергию волны, - это ее амплитуда (точнее, квадрат амплитуды). В случае света амплитуда определяет интенсивность излучения. Однако при изучении явления фотоэффекта - выбивания светом электронов из металла - обнаружилось, что энергия выбитых электронов не связана с интенсивностью (амплитудой) излучения, а зависит только от его частоты. Даже слабый голубой свет выбивает электроны из металла, а самый мощный желтый прожектор не может выбить из того же металла ни одного электрона. Интенсивность определяет, сколько будет выбито электронов, - но только если частота превышает некоторый порог. Оказалось, что энергия в электромагнитной волне раздроблена на порции, получившие название квантов. Энергия кванта электромагнитного излучения фиксирована и равна

E = h ν ,

где h = 4·10 –15 эВ ·с = 6·10 –34 Дж ·с - постоянная Планка, еще одна фундаментальная физическая величина, определяющая свойства нашего мира. С отдельным электроном при фотоэффекте взаимодействует отдельный квант, и если его энергии недостаточно, он не может выбить электрон из металла. Давний спор о природе света - волны это или поток частиц - разрешился в пользу своеобразного синтеза. Одни явления описываются волновыми уравнениями, а другие - представлениями о фотонах, квантах электромагнитного излучения, которые были введены в оборот двумя немецкими физиками - Максом Планком и Альбертом Эйнштейном.

Энергию квантов в физике принято выражать в электрон-вольтах. Это внесистемная единица измерения энергии. Один электрон-вольт (1 эВ ) равен энергии, которую приобретает электрон, когда разгоняется электрическим полем напряжением 1 вольт. Это очень небольшая величина, в единицах системы Си 1 эВ = 1,6·10 –19 Дж . Но в масштабах атомов и молекул электрон-вольт - вполне солидная величина.

От энергии квантов напрямую зависит способность излучения производить определенное воздействие на вещество. Многие процессы в веществе характеризуются пороговой энергией - если отдельные кванты несут меньшую энергию, то, как бы много их ни было, они не смогут спровоцировать надпороговый процесс.

Немного забегая вперед, приведем примеры. Энергии СВЧ-квантов хватает для возбуждения вращательных уровней основного электронно-колебательного состояния некоторых молекул, например воды. Энергии в доли электрон-вольта хватает для возбуждения колебательных уровней основного состояния в атомах и молекулах. Этим определяется, например, поглощение инфракрасного излучения в атмосфере. Кванты видимого света имеют энергию 2–3 эВ - этого достаточно для нарушения химических связей и провоцирования некоторых химических реакций, например, тех, что протекают в фотопленке и в сетчатке глаза. Ультрафиолетовые кванты могут разрушать более сильные химические связи, а также ионизировать атомы, отрывая внешние электроны. Это делает ультрафиолет опасным для жизни. Рентгеновское излучение может вырывать из атомов электроны с внутренних оболочек, а также возбуждать колебания внутри атомных ядер. Гамма-излучение способно разрушать атомные ядра, а самые энергичные гамма-кванты даже внедряются в структуру элементарных частиц, таких как протоны и нейтроны.

Квант - неделимая порция какой-либо величины в физике. Фотон - квант электромагнитного поля;

Это безмассовая частица, способная существовать только двигаясь со скоростью света. Электрический заряд фотона также равен нулю. Фотону как квантовой частице свойственен корпускулярно-волновой дуализм, он проявляет одновременно свойства частицы и волны. Ско́рость све́та - абсолютная величина скорости распространения электромагнитных волн в вакууме. Энергию квантов в физике принято выражать в электрон-вольтах. Это внесистемная единица измерения энергии. От энергии квантов напрямую зависит способность излучения производить определенное воздействие на вещество. Многие процессы в веществе характеризуются пороговой энергией - если отдельные кванты несут меньшую энергию, то, как бы много их ни было, они не смогут спровоцировать надпороговый процесс. Если световой пучок падает на поверхность, разделяющую две прозрачные среды разной оптической плотности, например воздух и воду, то часть света отражается от этой поверхности, а другая часть - проникает во вторую среду. При переходе из одной среды в другую луч света изменяет направление на границе этих сред. Это явление называется

преломлением света. Опыты показывают, что при одном и том же угле падения угол преломления тем меньше, чем плотнее в оптическом отношении среда, в которую проникает луч. Если свет идёт из среды более оптически плотной в среду менее плотную, то угол преломления луча больше угла падения. 1 . На границе раздела двух сред различной оптической плотности луч света при переходе из одной среды в другую меняет своё направление. 2. При переходе луча света в среду с большей оптической плотностью угол преломления меньше угла падения; при переходе луча света из оптически более плотной среды в среду менее плотную угол преломления больше угла падения. Преломление света сопровождается отражением, причём с увеличением угла падения яркость отражённого пучка возрастает, а преломлённого ослабевает. Чем более плотная среда тем меньше скорость света, чем менее плотная среда тем больше скорость света. Максимальное значение скорости света (в вакууме 3*10 в 8 степени м/с)

3.7 Спектр. Условия образования спектров излучения. Характер распределения энергии в спектре: непрерывные, линейчатые, полосатые спектры и системы их излучающие

Спектр - распределение значений физической величины (обычно энергии, частоты или массы). Графическое представление такого распределения называется спектральной диаграммой. Обычно под спектром подразумевается электромагнитный спектр - спектр частот электромагнитного излучения. В научный обиход термин спектр ввёл Ньютон в 1671-1672 годах для обозначения многоцветной полосы, похожей на радугу, которая получается при прохождении солнечного луча через треугольную стеклянную призму. Непрерывные спектры , как показывает опыт, дают тела, находящиеся в твердом или жидком состоянии, а также сильно сжатые газы. Для получения непрерывного спектра нужно нагреть тело до высокой температуры. Непрерывный спектр дает также высокотемпературная плазма. Электромагнитные волны излучаются плазмой в основном при столкновении электронов с ионами.

Линейчатые спектры. Линейчатый спектр. это спектр, испускаемый газами, парами малой плотности в атомарном состоянии. Состоит из отдельных линий разного цвета (длины волны, частоты), имеющих разные расположения. Каждый атом излучает набор электромагнитных волн определенных частот. Поэтому каждый химический элемент имеет свой спектр. Каждая линия имеет конечную ширину Это самый фундаментальный, основной тип спектров. Изолированные атомы излучают строго определенные длины волн. Обычно для наблюдения линейчатых спектров используют свечение паров вещества в пламени или свечение газового разряда в трубке, наполненной исследуемым газом. При увеличении плотности атомарного газа отдельные спектральные линии расширяются, и, наконец, при очень большом сжатии газа, когда взаимодействие атомов становится существенным, эти линии перекрывают друг друга, образуя непрерывный спектр. Главное свойство линейчатых спектров состоит в том, что длины волн (или частоты) линейчатого спектра какого-либо вещества зависят только от свойств атомов этого вещества, но совершенно не зависят от способа возбуждения свечения атомов. Полосатые спектры . Полосатый спектр состоит из отдельных полос, разделенных темными промежутками. Каждая полоса представляет собой совокупность большого числа очень тесно расположенных линий. В отличие от линейчатых спектров полосатые спектры создаются не атомами, а молекулами, не связанными или слабо связанными друг с другом. Распределение энергии в спектре. Энергия теплового излучения с непрерывным спектром распределяется неравномерно по разным частям спектра. Характер этого распределения зависит как от температуры, так и от природы излучающего тела. Эмиссионный спектр, спектр излучения, спектр испускания - относительная интенсивность электромагнитного излучения объекта исследования по шкале частот. Обычно изучается излучение в инфракрасном, видимом и ультрафиолетовом диапазоне от сильно нагретого вещества. Спектр излучения вещества представляют либо в виде горизонтальной цветовой полосы - результат расщепления света от объекта призмой - либо в виде графика относительной интенсивности, либо в виде таблицы. Нагретое вещество излучает электромагнитные волны (фотоны). Спектр этого излучения на фоне спектра излучения абсолютно чёрного тела, при достаточной температуре, на определённых частотах имеет ярко выраженные увеличения интенсивности. Причина повышения интенсивности излучения - в электронах, находящихся в условиях квантования энергии. Такие условия возникают внутри атома, в молекулах и кристаллах. Возбуждённые электроны переходят из состояния бо́льшей энергии в состояние меньшей энергии с испусканием фотона. Разница энергий уровней определяет энергию испущенного фотона, и следовательно его частоту в соответствии с формулой: Е=hv, где Е – энергия фотона, h- постоянная Планка, v –частота.