>

Предмет математической статистики. Математическая статистика Математическая статистика кратко

Математическая статистика - это современная отрасль математической науки, которая занимается статистическим описанием результатов экспериментов и наблюдений, а также построением математических моделей, содержащих понятия вероятности. Теоретической базой математической статистики служит теория вероятностей.

В структуре математической статистики традиционно выделяют два основных раздела: описательная статистика и статистические выводы (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Основные разделы математической статистики

Описательная статистика используется для:

o обобщение показателей одной переменной (статистика случайной выборки);

o выявление взаимосвязей между двумя и более переменными (корреляционно-регрессионный анализ).

Описательная статистика дает возможность получить новую информацию, быстрее понять и всесторонне оценить ее, то есть выполняет научную функцию описания объектов исследования, чем и оправдывает свое название. Методы описательной статистики призваны превратить совокупность отдельных эмпирических данных на систему наглядных для восприятия форм и чисел: распределения частот; показатели тенденций, вариативности, связи. Этими методами рассчитываются статистики случайной выборки, которые служат основанием для осуществления статистических выводов.

Статистические выводы дают возможность:

o оценить точность, надежность и эффективность выборочных статистик, найти ошибки, которые возникают в процессе статистических исследований (статистическое оценивание)

o обобщить параметры генеральной совокупности, полученные на основании выборочных статистик (проверка статистических гипотез).

Главная цель научных исследований - это получение нового знания о больших класса явлений, лиц или событий, которые принято называть генеральной совокупности.

Генеральная совокупность - это полная совокупность объектов исследования, выборка - ее часть, которая сформирована определенным научно обоснованным способом 2.

Термин "генеральная совокупность" используется тогда, когда речь идет о большой, но конечную совокупность исследуемых объектов. Например, о совокупности абитуриентов Украины в 2009 году или совокупность детей дошкольного возраста города Ровно. Генеральные совокупности могут достигать значительных объемов, быть конечным и бесконечным. На практике, как правило, имеют дело с конечным совокупностями. И если отношение объема генеральной совокупности к объему выборки составляет более 100, то, по словам Гласса и Стэнли методы оценки для конечных и бесконечных совокупностей дают в сущности одинаковые результаты . Генеральной совокупностью можно называть и полную совокупность значений какого-то признака. Принадлежность выборки к генеральной совокупности является главным основанием для оценки характеристик генеральной совокупности по характеристикам выборки.

Основная идея математической статистики базируется на убеждении о том, что полное изучение всех объектов генеральной совокупности в большинстве научных задач или практически невозможно, или экономически нецелесообразно, поскольку требует много времени и значительных материальных затрат. Поэтому в математической статистике применяется выборочный подход, принцип которого показано на схеме рис. 1.2.

Например, по технологии формирования различают выборки рандомизированы (простые и систематические), стратифицированные, кластерные (см. Раздел 4).

Рис. 1.2. Схема применения методов математической статистики Согласно выборочным подходом использования математико-статистических методов может проводиться в такой последовательности (см. Рис. 1.2):

o с генеральной совокупности, свойства которой подлежат исследованию, определенными методами формируют выборку - типичную но ограниченное количество объектов, к которым применяют исследовательские методы;

o в результате методов наблюдений, экспериментальных действий и измерений над объектами выборки получают эмпирические данные;

o обработка эмпирических данных с помощью методов описательной статистики дает показатели выборки, которые называются статистиками - как и название дисциплины, кстати;

o применяя методы статистических выводов к статистик, получают параметры, которые характеризуют свойства генеральной совокупности.

Пример 1.1. С целью оценки стабильности уровня знаний (переменная X) проведено тестирование рандомизированной выборки 3 студентов объемом n. Тесты содержали по m заданий, каждое из которых оценивалось по системе баллов: "выполнено" "- 1," не выполнено "- 0. остались средние текущие достижения студентов X

3 рандомизированных выборка (от англ. Random - случайный) - это репрезентативная выборка, которая сформирована по стратегии случайных испытаний.

на уровне прошлых лет / ч? Последовательность решения:

o выяснить содержательную гипотезу типа: "если текущие результаты тестирования не будут отличаться от прошлых, то можно считать уровень знаний студентов неизменным, а учебный процесс - стабильным";

o сформулировать адекватную статистическую гипотезу, например, нуль-гипотезу Н 0 о том, что "текущий средний балл X статистически не отличается от среднего показателя прошлых лет / ч", то есть Н 0: X = / г, против соответствующей альтернативной гипотезы X Ф ^ ;

o построить эмпирические распределения исследуемой переменной X;

o определить (при необходимости) корреляционные связи, например, между переменной X и другими показателями, построить линии регрессии;

o проверить соответствие эмпирического распределения нормальному закону;

o оценить значение точечных показателей и доверительный интервал параметров, например, среднего;

o определить критерий для проверки статистических гипотез;

o выполнить проверку статистических гипотез на основе выбранных критериев;

o сформулировать решение о статистической нуль-гипотезы на определенном уровне значимости;

o перейти от решения о принятии или отклонении статистической нуль-гипотезы интерпретации выводов относительно гипотезы содержательной;

o сформулировать содержательные выводы.

Итак, если обобщить вышеперечисленные процедуры, применение статистических методов состоит из трех основных блоков:

Переход от объекта реальности к абстрактной математико-статистической схемы, то есть построение вероятностной модели явления, процесса, свойства;

Проведение расчетных действий собственно математическими средствами в рамках вероятностной модели по результатам измерений, наблюдений, эксперимента и формулировки статистических выводов;

Интерпретация статистических выводов о реальной ситуации и принятия соответствующего решения.

Статистические методы обработки и интерпретации данных опираются на теорию вероятностей. Теория вероятностей является основой методов математической статистики. Без использования фундаментальных понятий и законов теории вероятностей невозможно обобщения выводов математической статистики, а значит и обоснованного их использования для научных и практических целей.

Так, задачей описательной статистики является превращение совокупности выборочных данных на систему показателей - статистик - распределений частот, мер центральной тенденции и изменчивости, коэффициентов связи и тому подобное. Однако, статистики являются характеристиками, по сути, конкретной выборки. Конечно, можно рассчитывать выборочные распределения, выборочные средние, дисперсии и т. Д., Но подобный "анализ данных" имеет ограниченную научно-познавательную ценность. "Механическое" перенос каких-либо выводов, сделанных на основе таких показателей, на другие совокупности не является корректным.

Для того, чтобы иметь возможность переноса выборочных показателей или другие, или на более распространены совокупности, необходимо иметь математически обоснованные положения о соответствии и способности выборочных характеристик характеристиками этих распространенных так называемых генеральных совокупностей. Такие положения базируются на теоретических подходах и схемах, связанных с вероятностными моделях реальности, например, на аксиоматическом подходе, в законе больших чисел и т.д. Только с их помощью можно переносить свойства, которые установлены по результатам анализа ограниченной эмпирической информации, или на другие или на распространенные совокупности. Таким образом, построение, законы функционирования, использование вероятностных моделей, является предметом математической области под названием "теория вероятностей", становится сутью статистических методов.

Таким образом, в математической статистике используются два параллельных строки показателей: первая строка, что имеет отношение к практике (это выборочные показатели) и второй, основанный на теории (это показатели вероятностной модели). Например, эмпирическим частотам, которые определены на выборке, соответствуют понятия теоретической вероятности; выборочном среднем (практика) соответствует математическое ожидание (теория) и т.д. Причем, в исследованиях выборочные характеристики, как правило, являются первичными. Они рассчитываются на основе наблюдений, измерений, экспериментов, после чего проходят статистическое оценивание способности и эффективности, проверку статистических гипотез в соответствии с целями исследований и в конце принимаются с определенной вероятностью как показатели свойств исследуемых совокупностей.

Вопрос. Задача.

1. Охарактеризуйте основные разделы математической статистики.

2. В чем заключается основная идея математической статистики?

3. Охарактеризуйте соотношение генеральной и выборочной совокупностей.

4. Объясните схему применения методов математической статистики.

5. Укажите перечень основных задач математической статистики.

6. Из каких основных блоков состоит применения статистических методов? Охарактеризуйте их.

7. Раскройте связь математической статистики с теорией вероятностей.

3.1.1 Задачи и методы математической статистики

Математическая статистика - это раздел математики, посвященный методам сбора, анализа и обработки результатов статистических данных наблюдений для научных и практических целей. Методы математической статистики используют в тех случаях, когда изучают распределение массовых явлений , т.е. большой совокупности предметов или явлений, распределенных по определенному признаку .

Пусть подлежит изучению совокупность однородных объектов, объединенных общим признаком или свойством качественного или количественного характера. Отдельные элементы такой совокупности называются ее членами. Все число членов совокупности составляет ее объем . Совокупность всех объектов, объединенных по некоторому признаку, будем называть генеральной совокупностью . Например, изучается доход населения, рыночная стоимость акций или отклонение от Госстандарта в ходе качественной оценки изготавливаемой продукции.

Математическая статистика тесно связана с теорией вероятности и опирается на ее выводы. В частности, понятию генеральной совокупности в математической статистике соответствует понятие пространства элементарных событий в теории вероятностей.

Изучение всей генеральной совокупности чаще всего невозможно или нецелесообразно из-за значительных материальных затрат, порчи или уничтожения объекта исследования. Так, невозможно получить объективную и полную информацию о доходе населения всего региона, т.е. каждого конкретного его обитателя. В связи с порчей объекта исследования, невозможно получить достоверную информацию о качестве, например, некоторых лекарственных средств или продуктов питания.

Основная задача математической статистики заключается в исследовании генеральной совокупности по выборочным данным в зависимости от поставленной цели, то есть изучение вероятностных свойств совокупности: закона распределения, числовых характеристик и т.д. для принятия управленческих решений в условиях неопределенности.

3.1.2 Виды выборки

Одним из методов математической статистики является выборочный метод . На практике чаще всего исследуется не вся генеральная совокупность, а ограниченного объема выборка из нее.

Выборкой (выборочной совокупностью) называют совокупность случайно отобранных объектов. С помощью выборочного метода исследуется не вся генеральная совокупность, а выборка (х 1 , х 2 ,...,x n ) как результат ограниченного ряда наблюдений. Затем по вероятностным свойствам данной выборки из некоторой генеральной совокупности выносится суждение о всей генеральной совокупности. Для получения выборки применяют различные методы отбора. Объекты исследования после изучения можно в генеральную совокупность, что соответствует
выборке.

Выборка называется репрезентативной или представительной , если она хорошо воспроизводит генеральную совокупность, то есть вероятностные свойства выборки совпадают или близки к свойствам самой генеральной совокупности.

Итак, результативность применения выборочного метода повышается при соблюдении ряда условий, к которым можно отнести следующие:

    Количество исследуемых элементов выборки достаточно для выводов , то есть выборка представительна или «репрезентативна ».

Так, достаточное количество деталей в партии, проверяемой на качество (брак), устанавливается с помощью законов теории вероятностей и математической статистики.

    Элементы выборки должны быть разнообразны, взяты случайно, т.е. должен соблюдаться принцип рандомизации.

    Изучаемый признак – характерен , типичен для всех элементов множества изучаемых объектов – т.е. для всей генеральной совокупности.

    Изучаемый признак является существенным для всех элементов данного класса.

Изменение признака статистической совокупности, изучаемого выборочным методом, называется вариацией , а наблюдаемые значения признака x i - вариантой. Абсолютной частотой (частотой или частостью ) варианты x i называется число членов совокупности (генеральной или выборки), имеющих значение x i (т.е. это число частиц i - го сорта).

Ранжированная группировка вариант по отдельным значениям признака (или по интервалам изменения), т.е. последовательность вариант, расположенная в порядке возрастания, называется вариационным рядом . Любую функцию (X 1 ,X 2 ,…,X n ) от результатов наблюдений X 1 ,X 2 ,…,X n исследуемой случайной величины называют статистикой .

Принято объем генеральной совокупности обозначать N , ее абсолютные частоты - N i , объем выборки - n , ее абсолютные частоты - n i . Очевидно, что

,
.

Отношение частоты к объему совокупности называется относительной частотой или статистической вероятностью и обозначается W i или :

.

Если количество вариант велико или близко к объему выборки (при дискретном распределении), а также если выборка производится из непрерывной генеральной совокупности, то вариационный ряд составляют не по отдельным – точечным – значениям, а по интервалам значений генеральной совокупности. Вариационный ряд, представленный таблицей, построенный с помощью процедуры группировки, будем называть интервальным. При составлении интервального вариационного ряда первая строка таблицы заполняется равными по длине интервалами значений исследуемой совокупности, вторая – соответствующими абсолютными или относительными частотами.

Пусть из некоторой генеральной совокупности в результате n наблюдений извлечена выборка объема п . Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им абсолютных или относительных частот. Точечный вариационный ряд абсолютных частот может быть представлен таблицей:

x i

х k

n i

n k

причем
.

Точечный вариационный ряд относительных частот представляют таблицей:

x i

х k

причем
.

При построении интервального распределения существуют правила в выборе числа интервалов или величины каждого интервала. Критерием здесь служит оптимальное соотношение: при увеличении числа интервалов улучшается репрезентативность, но увеличивается объем данных и время на их обработку. Разность x max - x min между наибольшим и наименьшим значениями вариант называют размахом выборки.

Для подсчета числа интервалов k обычно применяют эмпирическую формулу Стерджесса:

k = 1+3,3221g n (3.1)

(подразумевается округление до ближайшего целого). Соответственно, величину каждого интервала h можно вычислить по формуле:

. (3.2)

x min = x max - 0,5h .

Каждый интервал должен содержать не менее пяти вариант. В том случае, когда число вариант в интервале меньше пяти, соседние интервалы принято объединять.

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

    Введение.

    Использованная литература.

Методы математической статистики

    Введение.

    Основные понятия математической статистики.

    Статистическая обработка результатов психолого-педагогических исследований.

    Использованная литература.

Методы математической статистики

    Введение.

    Основные понятия математической статистики.

    Статистическая обработка результатов психолого-педагогических исследований.

    Использованная литература.

      Введение.

Применение математики к другим наукам имеет смысл только в единении с глубокой теорией конкретного явления. Об этом важно помнить, чтобы не сбиваться на простую игру в формулы, за которой не стоит никакого реального содержания.

Академик Ю.А. Митропольский

Теоретические методы исследования в психологии и педагогике дают возможность раскрыть качественные характеристики изучаемых явлений. Эти характе­ристики будут полнее и глубже, если накопленный эмпирический ма­териал подвергнуть количественной обработке. Однако, проблема количественных измерений в рамках психолого-педагогических исследований очень сложна. Эта сложность заключается прежде всего в субъективно-причинном многообразии педагогической деятельности и ее результатов, в самом объекте измерения, находящимся в состоянии непрерывного движения и изменения. Вместе с тем введение в исследование количественных показателей сегодня является необходимым и обязательным компонентом получения объективных данных о результатах педагогического труда. Как правило, эти данные могут быть получены как путем прямого или опосредованного измерения различных составляющих педагогического процесса, так и посредством количественной оценки соответствующих параметров адекватно построенной его математической модели. С этой целью при исследо­вании проблем психологии и педагогики применяются методы математической статистики. С их помощью решаются различные задачи: обработка факти­ческого материала, получение новых, дополнительных данных, обоснование научной организации исследования и другие.

2. Основные понятия математической статистики

Исключительно важную роль в анализе многих психолого-педагогических явлений играют средние величины, представляющие собой обобщенную характеристи­ку качественно однородной совокупности по определенному количественно­му признаку. Нельзя, например, вычислить среднюю специальность или среднюю национальность студентов вуза, так как это качест­венно разнородные явления. Зато можно и нужно определить в среднем числовую характеристику их успеваемости (средний балл), эффек­тивности методических систем и приемов и т. д.

В психолого-педагогических исследованиях обычно применяются различные виды средних величин: средняя арифметическая, сред­няя геометрическая, медиана, мода и другие. Наиболее распространенными являются средняя арифметическая, медиана и мода.

Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда между определяю­щим свойством и данным признаком имеется прямо пропорциональная зави­симость (например, при улучшении показателей работы учебной группы улучшаются показатели работы каждого ее члена).

Средняя арифметическая представляет собой частное от деления сум­мы величин на их число и вычисляется по формуле:

где Х - средняя арифметическая; X1, X2, Х3 ... Хn - результаты отдельных наблюдений (приемов, действий),

n - количество наблюдений (приемов, действий),

Сумма результатов всех наблюдений (приемов, действий).

Медианой (Ме) называется мера среднего положения, характеризующая значение признака на упорядоченной (построенной по признаку возрастания или убывания) шкале, которое соответствует середине исследуемой совокупности. Медиана может быть определена для порядковых и количественных признаков. Место расположения этого значения определяется по формуле: Место медианы = (n + 1) / 2

Например. По результатам исследования установлено, что:

– на “отлично” учатся – 5 человек из участвующих в эксперименте;

– на “хорошо” учатся – 18 человек;

– на “удовлетворительно” – 22 человека;

– на “неудовлетворительно” – 6 человек.

Так как всего в эксперименте принимало участие N = 54 человека, то середина выборки равна человек. Отсюда делается вывод, что больше половины обучающихся учатся ниже оценки “хорошо”, то есть медиана больше “удовлетворительно”, но меньше “хорошо” (см. рисунок).

Мода (Мо) – наиболее часто встречающееся типичное значение признака среди других значений. Она соответствует классу с максимальной частотой. Этот класс называется модальным значением.

Например.

Если на вопрос анкеты: “укажите степень владения иностранным языком”, ответы распределились:

1 – владею свободно – 25

2 – владею в достаточной степени для общения – 54

3 – владею, но испытываю трудности при общении – 253

4 – понимаю с трудом – 173

5 – не владею – 28

Очевидно, что наиболее типичным значением здесь является – “владею, но испытываю трудности при общении”, которое и будет модальным. Таким образом, мода равна – 253.

Важное значение при использовании в психолого-педагогическом исследовании математических методов уделяется расчету дисперсии и среднеквадратических (стандартных) отклонений.

Дисперсия равна среднему квадрату отклонений значения варианты от среднего значения. Она выступает как одна из характеристик индивидуальных результатов разброса значений исследуемой переменной (например, оценок учащихся) вокруг среднего значения. Вычисление дисперсии осуществляется путем определения: отклонения от среднего значения; квадрата указанного отклонения; суммы квадратов отклонения и среднего значения квадрата отклонения (см. табл. 6.1).

Значение дисперсии используется в различных статистических расчетах, но не имеет непосредственного наблюдаемого характера. Величиной, непосредственно связанной с содержанием наблюдаемой переменной, является среднее квадратическое отклонение.

Таблица 6.1

Пример вычисления дисперсии

Значение

показателя

Отклонение

от среднего

отклонения

2 – 3 = – 1

Среднее квадратичное отклонение подтверждает типичность и показательность средней арифметической, отражает меру колебания численных значений признаков, из которых выводится средняя величина. Оно равно корню квадратному из дисперсии и определяется по формуле:

где: – средняя квадратическая. При малом числе наблюдения (действий) – менее 100 – в значении формулы следует ставить не “N”, а “N – 1”.

Средняя арифметическая и средняя квадратическая являются основны­ми характеристиками полученных результатов в ходе исследования. Они позволяют обобщить данные, сравнить их, установить преимущества одной психолого-педагогической системы (программы) над другой.

Среднее квадратическое (стандартное) отклонение широко применяется как мера разброса для различных характеристик.

Оценивая результаты исследования важно определить рассеивание случайной величины около среднего значения. Это рассеивание описывается с помощью закона Гауса (закона нормального распределения вероятности случайной величины). Суть закона заключается в том, что при измерении некоторого признака в данной совокупности элементов всегда имеют место отклонения в обе стороны от нормы вследствие множества неконтролируемых причин, при этом, чем больше отклонения, тем реже они встречаются.

При дальнейшей обработке данных могут быть выявлены: коэффициент вариации (устойчивости) исследуемого явления, представляющий собой процентное отношение среднеквадратического отклонения к средней ариф­метической; мера косости , показывающая, в какую сторону направлено преимущественное число отклонений; мера крутости , которая показывает степень скопления значений случайной величины около среднего и др. Все эти статистические данные помогают более полно выявить признаки изучаемых явлений.

Меры связи между переменными. Связи (зависимости) между двумя и более переменными в статистике называют корреляцией. Она оценивается с помощью значения коэффициента корреляции, который является мерой степени и величины этой связи.

Коэффициентов корреляции много. Рассмотрим лишь часть из них, которые учитывают наличие линейной связи между переменными. Их выбор зависит от шкал измерения переменных, зависимость между которыми необходимо оценить. Наиболее часто в психологии и педагогике применяются коэффициенты Пирсона и Спирмена.

Рассмотрим вычисление значений коэффициентов корреляции на конкретных примерах.

Пример 1. Пусть две сравниваемые переменные X (семейное положение) и Y (исключение из университета) измеряются в дихотомической шкале (частный случай шкалы наименований). Для определения связи используем коэффициент Пирсона.

В тех случаях, когда нет необходимости подсчитывать частоту появления различных значений переменных X и Y, удобно проводить вычисления коэффициента корреляции с помощью таблицы сопряженности (см. табл. 6.2, 6.3, 6.4), показывающей количество совместных появлений пар значений по двум переменным (признакам). А – количество случаев, когда переменная X имеет значение равное нулю, и, одновременно переменная Y имеет значение равное единице; В – количество случаев, когда переменные X и Y имеют одновременно значения, равные единице; С – количество случаев, когда переменные X и Y имеют одновременно значения равные нулю; D – количество случаев, когда переменная X имеет значение, равное единице, и, одновременно, переменная Y имеет значение, равное нулю.

Таблица 6.2

Общая таблица сопряженности

Признак X

В общем виде формула коэффициента корреляции Пирсона для дихотомических данных имеет вид

Таблица 6.3

Пример данных в дихотомической шкале

Подставим в формулу данные из таблицы сопряженности (см. табл. 6.4), соответствующей рассматриваемому примеру:

Таким образом, коэффициент корреляции Пирсона для выбранного примера равен 0,32, то есть зависимость между семейным положением студентов и фактами исключения из университета незначительная.

Пример 2. Если обе переменные измеряются в шкалах порядка, то в качестве меры связи используется коэффициент ранговой корреляции Спирмена (Rs). Он вычисляется по формуле

где Rs – коэффициент ранговой корреляции Спирмена; Di – разность рангов сравниваемых объектов; N – количество сравниваемых объектов.

Значение коэффициента Спирмена изменяется в пределах от –1 да + 1. В первом случае между анализируемыми переменными существует однозначная, но противоположено направленная связь (с увеличением значений одной уменьшается значения другой). Во втором – с ростом значений одной переменной пропорционально возрастает значение второй переменной. Если величина Rs равна нулю или имеет значение, близкое к нему, то значимая связь между переменными отсутствует.

В качестве примера вычисления коэффициента Спирмена используем данные из таблицы 6.5.

Таблица 6.5

Данные и промежуточные результаты вычисления значения коэффициента

ранговой корреляции Rs

Качества

Ранги, присвоенные экспертом

Разность рангов

Квадрат разности рангов

–1
–1
–1

Сумма квадратов разностей рангов Di = 22

Подставим данные примера в формулу для коэффициента Смирмена:

Результаты вычисления позволяют утверждать о наличии достаточно выраженной связи между рассматриваемыми переменными.

Статистическая проверка научной гипотезы. Доказательство статистической достоверности экспериментального влияния существенно отличается от доказательства в математике и формальной логике, где выводы носят более универсальный характер: статистические доказательства не являются столь строгими и окончательными – в них всегда допускается риск ошибиться в выводах и потому статистическими методами не доказывается окончательно правомерность того или иного вывода, а показывается мера правдоподобности принятия той или иной гипотезы.

Педагогическая гипотеза (научное предположение о преимуществе того или иного метода и т. п.) в процессе статистического анализа переводится на язык статистической науки и заново формулируется, по меньшей мере, в виде двух статистических гипотез. Первая (основная) называется нулевой гипотезой (Н 0), в которой исследователь говорит о своей исходной позиции. Он (априори) как бы декларирует, что новый (предполагаемый им, его коллегами или оппонентами) метод не обладает какими-либо преимуществами, и потому с самого начала исследователь психологически готов занять честную научную позицию: различия между новым и старым методами объявляются равными нулю. В другой, альтернативной гипотезе (Н 1) делается предположение о преимуществе нового метода. Иногда выдвигается несколько альтернативных гипотез с соответствующими обозначениями.

Например, гипотеза о преимуществе старого метода (H 2). Альтернативные гипотезы принимаются тогда и только тогда, когда опровергается нулевая гипотеза. Это бывает в случаях, когда различия, скажем, в средних арифметических экспериментальной и контрольной групп настолько значимы (статистически достоверны), что риск ошибки отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативную не превышает одного из трех принятых уровней значимости статистического вывода:

– первый уровень – 5% (в научных текстах пишут иногда р = 5% или а?0,05, если представлено в долях), где допускается риск ошибки в выводе в пяти случаях из ста теоретически возможных таких же экспериментов при строго случайном отборе испытуемых для каждого эксперимента;

– второй уровень – 1%, т. е. соответственно допускается риск ошибиться только в одном случае из ста (а?0,01, при тех же требованиях);

– третий уровень – 0,1%, т. е. допускается риск ошибиться только в одном случае из тысячи (а?0,001). Последний уровень значимости предъявляет очень высокие требования к обоснованию достоверности результатов эксперимента и потому редко используется.

При сравнении средних арифметических экспериментальной и контрольной групп важно не только определить, какая средняя больше, но и насколько больше. Чем меньше разница между ними, тем более приемлемой окажется нулевая гипотеза об отсутствии статистически значимых (достоверных) различий. В отличие от мышления на уровне обыденного сознания, склонного воспринимать полученную в результате опыта разность средних как факт и основание для вывода, педагог-исследователь, знакомый с логикой статистического вывода, не будет торопиться в таких случаях. Он скорее всего сделает предположение о случайности различий, выдвинет нулевую гипотезу об отсутствии достоверных различий в результатах экспериментальной и контрольной групп и лишь после опровержения нулевой гипотезы примет альтернативную.

Таким образом, вопрос о различиях в рамках научного мышления переводится в другую плоскость. Дело не только в различиях (они почти всегда есть), а в величине этих различий и отсюда – в определении той разницы и границы, после которого можно сказать: да, различия неслучайны, они статистически достоверны, а значит, испытуемые этих двух групп принадлежат после эксперимента уже не к одной (как раньше), а к двум различным генеральным совокупностям и что уровень подготовленности учащихся, потенциально принадлежащих этим совокупностям, будет существенно отличаться. Для того чтобы показать границы этих различий, используются так называемые оценки генеральных параметров .

Рассмотрим на конкретном примере (см. табл. 6.6), как с помощью математической статистики можно опровергнуть или подтвердить нулевую гипотезу.

Допустим, необходимо определить зависит ли эффективность групповой деятельности студентов от уровня развития в учебной группе межличностных отношений. В качестве нулевой гипотезы выдвигается предположение, что такой зависимости не существует, а в качестве альтернативной – зависимость существует. Для этих целей сравниваются результаты эффективности деятельности в двух группах, одна из которых в этом случае выступает в качестве экспериментальной, а вторая – контрольной. Чтобы определить, является ли разность между средними значениями показателей эффективности в первой и во второй группе существенной (значимой), необходимо вычислить статистическую достоверность этой разницы. Для этого можно использовать t – критерий Стьюдента. Он вычисляется по формуле:

где X 1 и X 2 – среднее арифметическое значение переменных в группах 1 и 2; М 1 и М 2 – величины средних ошибок, которые вычисляются по формуле:

где - средняя квадратическая, вычисляемая по формуле (2).

Определим ошибки для первого ряда (экспериментальная группа) и второго ряда (контрольная группа):

Находим значение t – критерия по формуле:

Вычислив величину t – критерия, требуется по специальной таблице определить уровень статистической значимости различий между средними показателями эффективности деятельности в экспериментальной и контрольной группах. Чем выше значение t – критерия, тем выше значимость различий.

Для этого t расчетное сравниваем с t табличным. Табличное значение выбирается с учетом выбранного уровня достоверности (p = 0,05 или p = 0,01), а также в зависимости от числа степеней свободы, которое находится по формуле:

где U – число степеней свободы; N 1 и N 2 – число замеров в первом и во втором рядах. В нашем примере U = 7 + 7 –2 = 12.

Таблица 6.6

Данные и промежуточные результаты вычисления значимости статистических

Различий средних значений

Экспериментальная группа

Контрольная группа

Значение эффек-тивности деятельности

Для таблицы t – критерия находим, что значение t табл. = 3,055 для однопроцентного уровня (p

Однако педагогу-исследователю следует помнить, что существование статистической значимости разности средних значений является важным, но не единственным аргументом в пользу наличия или отсутствия связи (зависимости) между явлениями или переменными. Поэтому необходимо привлекать и другие аргументы количественного или содержательного обоснования возможной связи.

Многомерные методы анализа данных. Анализ взаимосвязи между большим количеством переменных осуществляется путем использования многомерных методов статистической обработки. Цель применения подобных методов – сделать наглядными скрытые закономерности, выделить наиболее существенные взаимосвязи между переменными. Примерами таких многомерных статистических методов являются:

    – факторный анализ;

    – кластерный анализ;

    – дисперсионный анализ;

    – регрессионный анализ;

    – латентно-структурный анализ;

    – многомерное шкалирование и другие.

Факторный анализ заключается в выявлении и интерпретации факторов. Фактор – обобщенная переменная, которая позволяет свернуть часть информации, т. е. представить ее в удобообозримом виде. Например, факторная теория личности выделяет ряд обобщенных характеристик поведения, которые в данном случае называются чертами личности.

Кластерный анализ позволяет выделить ведущий признак и иерархию взаимосвязей признаков.

Дисперсионный анализ – статистический метод, используемый для изучения одной или нескольких одновременно действующих и независимых переменных на изменчивость наблюдаемого признака. Его особенность состоит в том, что наблюдаемый признак может быть только количественным, в тоже время объясняющие признаки могут быть как количественными, так и качественными.

Регрессионный анализ позволяет выявить количественную (численную) зависимость среднего значения изменений результативного признака (объясняемой) от изменений одного или нескольких признаков (объясняющих переменных). Как правило данный вид анализа применяется тогда, когда требуется выяснить насколько изменяется средняя величина одного признака при изменении на единицу другого признака.

Латентно-структурный анализ представляет совокупность аналитико-статистических процедур выявления скрытых переменных (признаков), а также внутренней структуры связей между ними. Он дает возможность исследовать проявления сложных взаимосвязей непосредственно ненаблюдаемых характеристик социально-психологических и педагогических явлений. Латентный анализ может являться основой для моделирования указанных взаимосвязей.

Многомерное шкалирование обеспечивает наглядную оценку сходства или различия между некоторыми объектами, описываемыми большим количеством разнообразных переменных. Эти различия представляются в виде расстояния между оцениваемыми объектами в многомерном пространстве.

3. Статистическая обработка результатов психолого-педагогических

исследований

В любом исследовании всегда важно обеспечить массовость и предста­вительность (репрезентативность) объектов изучения. Для решения этого вопроса обычно прибегают к математическим методам расчета минимальной величины подлежащих исследованию объектов (групп респондентов), чтобы на этом основании можно было сделать объ­ективные выводы.

По степени полноты охвата первичных единиц статистика делит исс­ледования на сплошные, когда изучаются все единицы изучаемого явления, и выборочные, если изучению подвергается только часть интересующей со­вокупности, взятая по какому-либо признаку. Исследователю не всегда представляется возможность изучить всю совокупность явлений, хотя к этому постоянно следует стремиться (не хватает времени, средств, необ­ходимых условий и т. д.); с другой стороны, часто сплошное исследование просто не требуется, так как выводы будут достаточно точными после изучения определенной части первичных единиц.

Теоретической основой выборочного способа исследования является теория вероятностей и закон больших чисел. Чтобы исследование распола­гало достаточным количеством фактов, наблюдений, используют таблицу достаточно больших чисел. От исследователя в данном случае требуется установление величины вероятности и величины допускаемой ошибки. Пусть, например, допускаемая ошибка в выводах, которые должны быть сделаны в результате наблюдений, по сравнению с теоретическими предпо­ложениями, не должна превышать 0,05 как в положительную, так и в отри­цательную стороны (иначе говоря, мы можем ошибиться не более чем в 5 случаев из 100). Тогда по таблице достаточно больших чисел (см. табл. 6.7) находим, что правильное заключение может быть высказано в 9 случа­ев из 10 тогда, когда число наблюдений будет не менее 270, в 99 случа­ев из 100 при наличии не менее 663 наблюдений и т. д. Значит, с увели­чением точности и вероятности, с которой мы предполагаем сделать выво­ды, число требуемых наблюдений возрастает. Однако в психолого-педагогическом исследовании оно не должно быть чрезмерно большим. 300–500 наблюдений часто является вполне достаточным для основательных выводов.

Данный способ определения величины выборки является наиболее простым. Математическая статистика располагает и более сложными мето­дами вычисления требуемых выборочных совокупностей, которые подробно освещены в специальной литературе.

Однако соблюдение требований массовости еще не обеспечивает на­дежности выводов. Они будут достоверны тогда, когда выбранные для наб­людения (бесед, эксперимента и т. д.) единицы являются достаточно представительными для изучаемого класса явлений.

Таблица 6.7

Краткая таблица достаточно больших чисел

Величина

вероятности

Допустимая

Репрезентативность единиц наблюдения обеспечивается прежде всего их случайным выбором с помощью таблиц случайных чисел. Положим, требу­ется определить 20 учебных групп для проведения массового эксперимента из имеющихся 200. Для этого составляется список всех групп, который нумеруется. Затем из таблицы случайных чисел выписывается 20 номеров, начиная с какого-либо числа, через определенный интервал. Эти 20 случайных чисел по соблюдению номеров определяют те группы, которые нужны исследователю. Случайный выбор объектов из общей (гене­ральной) совокупности дает основание утверждать, что полученные при исследовании выборочной совокупности единиц результаты не будут резко отличаться от тех, которые имелись бы в случае исследования всей сово­купности единиц.

В практике психолого-педагогических исследований применяются не только простые случайные отборы, но и более сложные методы отбора: расслоенный случайный отбор, многоступенчатый отбор и др.

Математические и статистические методы исследования являются так­же средствами получения нового фактического материала. С этой целью используются приемы шаблонирования, повышающие информативную емкость анкетного вопроса и шкалирования, дающего возможность более точно оце­нивать действия как исследователя, так и исследуемых.

Шкалы возникли из-за необходимости объективно и точно диагности­ровать и измерять интенсивность определенных психолого-педагогических явлений. Шкалирование дает возможность упорядочить явления, количественно оце­нить каждое из них, определить низшую и высшую ступени исследуемого явления.

Так при исследовании познавательных интересов слушателей можно установить их границы: очень большой интерес – очень слабый интерес. Между этими границами ввести ряд ступеней, создающих шкалу познаватель­ных интересов: очень большой интерес (1); большой интерес (2); средний (3); слабый (4); очень слабый (5).

В психолого-педагогических исследованиях используются шкалы разных видов, например,

а) Трехмерная шкала

Очень активный……..…………..10

Активный…………………………5

Пассивный…...…………………...0

б) Многомерная шкала

Очень активный…………………..8

Среднеактивный………………….6

Не слишком активный…………...4

Пассивный………………………..2

Полностью пассивный…………...0

в) Двусторонняя шкала.

Очень интересуется……………..10

Достаточно интересуется………...5

Равнодушен……………………….0

Не интересуется…………………..5

Совершенно нет интереса………10

Числовые оценочные шкалы дают каждому пункту определенное число­вое обозначение. Так, при анализе отношения студентов к учебе, их настойчивости в работе, готовности к сотрудничеству и т.п. можно сос­тавить числовую шкалу на основе таких показателей: 1 – неудовлетвори­тельно; 2 – слабо; 3 – средне; 4 – выше среднего, 5 – намного выше среднего. В таком случае шкала приобретает следующий вид (см. табл. 6.8):

Таблица 6.8

Если числовая шкала биполярна, используется биполярная упорядо­ченность с нулевой величиной в центре:

Дисциплинированность Недисциплинированность

Ярко выраженная 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Не ярко выраженная

Оценочные шкалы могут быть изображены графически. В этом случае они выражают категории в наглядной форме. При этом каждое деление (ступень) шкалы характеризуется вербально.

Рассматриваемые методы играют большую роль в анализе и обобще­нии полученных данных. Они позволяют установить различные соотношения, корреляции между фактами, выявить тенденции в развитии психолого-педагогических явлений. Так, теория группировок математической статистики помогает определить, какие факты из собранного эмпирического материала сопоста­вимы, по какому основанию их правильно сгруппировать, какой степени достоверности они будут. Все это позволяет избежать произвольных мани­пуляций с фактами и определить программу их обработки. В зависимости от целей и задач обычно применяют три вида группировок: типологичес­кую, вариационную и аналитическую.

Типологическая группировка используется, когда необходимо разбить полученный фактический материал на качественно однородные единицы (распределение количества нарушений дисциплины между различными категориями студентов, разбивка показателей выполнения ими физических упражнений по годам учебы и т.п.).

В случае необходимости сгруппировать материал по величине како­го-либо изменяющегося (варьирующего) признака – разбивка групп обучающихся по уровню успеваемости, по процентам выполнения заданий, однотип­ным нарушениям установленного порядка и т.п. – применяется вариацион­ная группировка , дающая возможность последовательно судить о структуре изучаемого явления.

Аналитический вид группировки помогает устанавливать взаимосвязь между изучаемыми явлениями (зависимость степени подготовки студентов от различных методов обучения, качества выполняемых заданий от темпе­рамента, способностей и т.д.), их взаимозависимость и вза­имообусловленность в точном исчислении.

Насколько важна работа исследователя по группировке собранных данных, свидетельствует тот факт, что ошибки в этой работе обесценива­ют самую исчерпывающую и содержательную информацию.

В настоящее время математические основы группировки, типоло­гии, классификации получили наиболее глубокое развитие в социологии. Современные подходы и методы типологии и классификации в социологичес­ких исследованиях могут быть с успехом применены в психологии и педагогике.

В ходе исследования используются приемы итогового обобщения дан­ных. Одним из них является прием составления и изучения таблиц.

При составлении сводки данных относительно одной статистической величины образуется ряд распределения (вариационный ряд) значения этой величины. Примером такого ряда (см. табл. 6.9) может служить сводка данных относительно окружности груди 500 лиц.

Таблица 6.9

Сводка данных одновременно по двум и более статистическим величи­нам предполагает составление таблицы распределения, раскрывающей расп­ределение значений одной статической величины в соответствии со значе­ниями, которые принимают другие величины.

В качестве иллюстрации при­водится таблица 6.10, составленная на основании статистических данных от­носительно окружности груди и веса этих людей.

Таблица 6.10

Окружность груди в см

Таблица распределения дает представление о соотношении и связи, существующих между двумя величинами, а именно: при малом весе частоты располагаются в верхней левой четверти таблицы, что указывает на пре­обладание лиц с малой окружностью груди. По мере увеличения веса до среднего значения распределение частот передвигается в центр таблички. Это указывает, что люди, вес которых ближе к среднему, имеют окруж­ность груди, также близкую к среднему значению. При дальнейшем увели­чении веса частоты начинают занимать правую нижнюю четверть таблички. Это свидетельствует о том, что у человека с весом более среднего ок­ружность груди также выше среднего объема.

Из таблицы следует, что установленная связь не строгая (функцио­нальная), а вероятностная, когда с изменениями значений одной величины другая изменяется как тенденция, без жесткой однозначной зависимости. Подобные связи и зависимости часто встречаются в психологии и педагогике. В настоя­щее время они выражаются обычно с помощью корреляционного и регрессивного анализа.

Вариационные ряды и таблицы дают представление о статике явления, динамику же могут показать ряды развития, где первая строка содержит последовательные этапы или промежутки времени, а вторая – полученные на этих этапах значения изучаемой статистической величины. Так выявля­ются возрастание, убывание или периодические изменения изучаемого яв­ления, вскрываются его тенденции, закономерности.

Таблицы могут заполняться абсолютными величинами, или сводными цифрами (средними, относительными). Результаты статистической работы – помимо таблиц часто изображаются графически в виде диаграмм, фигур и т. д. Основными способами графического изображения статистических вели­чин являются: способ точек, способ прямых и способ прямоугольников. Они просты и доступны каждому исследователю. Техника их использования – проведение осей координат, установление масштаба, и выписка обозна­чения отрезков (точек) на горизонтальных и вертикальной осях.

Диаграммы, изображающие ряды распределения значений одной статис­тической величины, позволяют составить кривые распределения.

Графическое изображение двух (и более) статистических величин да­ет возможность образовать некоторую кривую поверхность, называемую по­верхностью распределения. Ряд развития при графическом исполнении об­разуют кривые развития.

Графическое изображение статистического материала позволяет глуб­же проникнуть в смысл цифровых величин, уловить их взаимозависимости и черты изучаемого явления, которые трудно заметить в таблице. Исследо­ватель освобождается от той работы, которую он вынужден был бы проде­лать, чтобы разобраться с обилием цифр.

Таблицы и графики – важные, но только первые шаги в исследовании статистических величин. Основным же методом является аналитический, оперирующий математическими формулами, с помощью которых выводятся так называемые “обобщающие показатели”, то есть абсолютные величины, при­веденные в сравнимый вид (относительные и средние величины, балансы и индексы). Так, с помощью относительных величин (процентов) определяют­ся качественные особенности анализируемых совокупностей (например, отношение отличников к общему числу студентов; числа ошибок при работе на сложной аппаратуре, вызванных психической неус­тойчивостью обучающихся, к общему числу ошибок и т.п.). То есть выявля­ются отношения: части к целому (удельный вес), слагаемых к сумме (структура совокупности), одной части совокупности к другой ее части; характеризующие динамику каких-либо изменений во времени и др.

Как видно, даже самое общее представление о методах статистичес­кого исчисления говорит о том, что эти методы располагают большими возможностями в анализе и обработке эмпирического материала. Разумеет­ся, математический аппарат может бесстрастно обработать все, что в не­го вложит исследователь и достоверные данные, и субъективные домыслы. Вот почему совершенное владение математическим аппаратом обработки на­копленного эмпирического материала в единстве с доскональным знанием качественных характеристик исследуемого явления является необходимым для каждого исследователя. Только в этом случае возможен отбор качест­венного, объективного фактического материала, его квалифицированная об­работка и получение достоверных итоговых данных.

Такова краткая характеристика наиболее часто применяемых методов исследования проблем психологии и педагогики. Следует подчеркнуть, что ни один из рассмотренных методов, взятый сам по себе, не может претендовать на универсальность, на полную гарантию объективности получаемых данных. Так, элементы субъективизма в ответах, полученных путем опроса респондентов, очевидны. Результаты наблюдений, как правило, не свободны от субъективных оценок самого исследователя. Данные, взятые из различной документации, требуют одновременно проверки достоверности этой доку­ментации (особенно личных документов, документов из “вторых рук” и т.д.).

Поэтому каждому исследователю следует стремиться, с одной сторо­ны, к совершенствованию техники применения любого конкретного метода, а с другой – к комплексному, взаимоконтролирующему использованию раз­ных методов для изучения одной и той же проблемы. Владение всей систе­мой методов дает возможность разработать рациональную методику иссле­дования, четко организовать и провести его, получить существенные тео­ретические и практические результаты.

    Использованная литература.

    Шевандрин Н.И. Социальная психология в образовании: Учебное пособие. Ч.1. Концептуальные и прикладные основы социальной психологии. – М.: ВЛАДОС, 1995.

2. Давыдов В.П. Основы методологии, методики и технологии педагогического исследования: Научно-методическое пособие. – М.: Академия ФСБ, 1997.

Математическая статистика - Наука о том, как систематизировать и использовать статистические данные для научных и прикладных целей.

Математическая статистика в психологии

В психологии как науке математическая статистика применяется очень широко. С помощью тех или иных способов, например тестирования, разным особенностям поведения человека сопоставляются числа (шкалируются), и с этими числами уже работают методами математической статистики. После применения этих методов получаются новые данные, которые следует осмыслить.

Без применения математической статистики психология была бы довольно плоской и малоинформативной наукой, основанной на домыслах и спекуляциях (как это, например, имеет место быть в психоанализе). Разумеется, использование математической статистики не является "противоядием" против домыслов и спекуляций, однако предмет рассуждений становится значительно богаче.

Рассмотрим типичный и простой случай использования математической статистики. Допустим, кто-то провел исследование группы школьников. В числе прочих были найдены такие параметры, как экстраверсия-интроверсия и уровень интеллекта. Психолога-исследователя заинтересовало, а как связаны эти параметры между собой. Правда ли, что интроверты в среднем умнее экстравертов? Для этого группу испытуемых (выборку) можно поделить на две подгруппы: экстравертов и интровертов. Далее по каждой подгруппе находится среднее арифметическое по уровню интеллекта. Если, скажем, у интровертов в среднем IQ выше, значит, они умнее экстравертов. Это один подход. Другой может состоять в том, чтобы разделить испытуемых на подгруппу с высоким IQ (более 100) и низким (менее 100), а потом посчитать среднее по экстраверсии-интроверсии в каждой группе. Третий подход может состоять в том, чтобы вместо деления на подгруппы и высчитывания в них средних задействовать более сложный метод – корреляционный анализ. Все эти три методы по-разному, но покажут одну и ту же связь.

Математическая статистика позволяет делать интересные, иногда удивительные открытия. Продолжим наш гипотетический пример. Предположим, что психолог нашел парадоксальный результат, который противоречит с его прошлым опытом, знаниями. Скажем, он установил, что в одной школе экстраверты умнее интровертов, хотя во всех других школах было наоборот. Почему так? Дотошный психолог может начать свое расследование и установит, что, к примеру, это связано с тем, что в этой школе экстраверты ходят на факультатив по физике (потому что там «заводной учитель») и развивают свой интеллект, а интроверты ходят на факультатив по литературе (потому что там «душевный учитель»), где развивают другие качества своей души. Может ли, например, психоаналитик дойти до такого открытия? Крайне маловероятно.

В психологических исследованиях в расчет берутся не только такие чисто психологические параметры, как, скажем, интеллект, экстравертированность или тревожность. Могут использоваться и такие данные, как возраст, пол, уровень образования, рост, вес, физическая сила, политические взгляды, стаж работы и многое другое. Часто бывает, что именно без таких непсихологических показателей исследования оказываются неполными, малоинформативными. Также часто бывает, что представители других наук (например, социологии или биологии) тоже используют психологические параметры в своих исследованиях.

Математическая статистика позволяет много вещей:

Практические психологи в своей работе обычно ограничиваются нахождением средней арифметической, с разделением на подгруппы (как в примере выше). Ученые-психологи используют самый разнообразный арсенал методов математической статистики. Рассмотрим основные.

Нахождение средней арифметической

Самый банальный и простой метод. Показатели (например, рост испытуемых) складываются, затем делятся на число испытуемых. Несмотря на простоту, метод, конечно, очень информативный и наглядный. Наглядность – важное качество метода для практического психолога. Когда он представляет результаты своих исследований заказчику (например, директору школы), тот далеко не всегда способен понять сущность корреляционного или дисперсионного анализа. Разделение испытуемых на подгруппы по произвольному основанию усиливает потенциал средней арифметической, позволяя закрыть большинство потребностей исследователя.

Нахождение моды и медианы

Предположим, мы обследовали 1000 студентов – измеряли их рост с точностью до сантиметра. Эти данные заносили в таблицу. Если в таблице чаще всего встречается значение, скажем, 172 сантиметра, это и есть мода нашей выборки. Аналогичным, кстати, образом слово "мода" используется и в быту: если в этом сезоне чаще всего можно встретить шапочки красного цвета, значит это мода, хотя на долю этих шапочек может приходиться всего лишь 20 или 30 процентов.

В психологических исследованиях обычно мода находится где-то рядом со средней арифметической. Если мода 172 см, то и средняя будет около того. Чем больше выборка, тем ближе мода и среднее арифметическое.

Далее. Предположим, мы поделили своих студентов на две равные группы: в первой группе 500 низких студентов, во второй группе 500 высоких студентов. Значение роста, которое приходится на 500-го или 501-го студента и есть медиана . Медиана обычно тоже находится рядом со средней арифметической.

Выявление рассеяния значений

Как известно, средняя температура по больнице не так уж важна. И в хорошей больнице, где лечат хорошо, средняя температура может быть 36,6°C; и в плохой может быть такая же: просто у кого-то жар в 40 °C, а кто-то уже умер, и у него 18°C.

Самый простой способ оценить рассеяние выборки – найти ее размах (иначе – разброс). Если в нашей выборке самый низкий студент имеет рост 148 см, а самый высокий 205 см, значит размах выборки составит 205-148=57 см. Это величина важна в первую очередь для того, чтобы оценить, в каких рамках вообще меняется данный параметр.

Далее. Предположим такую ситуацию. Лет через двадцать по прихоти какого-нибудь богатого человека у него появятся дети-клоны. Ещё через двадцать лет они поступят в университет. И будет в университете выборка студентов объемом 1000 человек, из которых 998 имеют рост 177 см, один – 148 см, один – 205 см. По основным параметрам – средней арифметической, моде, медиане, размаху – эта выборка может не отличаться от другой выборки студентов (там будут такие же значения). Но при этом во второй (нормальной) выборке будет какое-то количество студентов с ростом 150-160 см, какое-то с ростом 180-190 см и т.д. Так что же, получается, что с точки зрения математической статистики эти группы одинаковые?

Одного взгляда на этот рисунок достаточно, чтобы понять, что группы различаются по рассеянию значений. Поэтому в статистике есть более точный инструмент для оценки рассеивания – дисперсия . Дисперсию исчисляют так: находят среднее арифметическое, потом для каждого случая находят отклонение от среднего, возводят это значение в квадрат, в конце делят на общее количество случаев. Из значения дисперсии легко получить стандартное отклонение : оно есть квадратный корень из дисперсии. Стандартное отклонение обозначает, что понятно, стандартное отклонение: то есть мера того, насколько в среднем значения вообще отклоняются.

Стандартное отклонение измеряется в тех же самых единицах, что и сам параметр. В первой нашей гипотетической группе, где почти все студенты одинаковы, стандартное отклонение будет крайне малым (менее 1 см). Во второй группе будет значительно больше – сантиметров 10-15. Если нам скажут, что средний рост студентов составляет 175 см при стандартном отклонении 12 см, мы будем знать, что большинство студентов (примерно 2/3) находится в диапазоне от 163 до 187 см.

t-критерий Стьюдента

Предположим, мы решили провести эксперимент такого рода. Мы взяли группу испытуемых. Перед началом эксперимента протестировали их, скажем, на уровень креативности. Далее они целый месяц занимались по часу в день рисованием. В конце эксперимента мы опять проверили их на уровень креативности. Был замечен результат, но довольно малый, и скептики стали нам заявлять, что уровень креативности не повысился, небольшое повышение средней арифметической это всего лишь случайность.

Для таких ситуаций придумали разные критерии. Один из них – наиболее популярный – это t-критерий Стьюдента. В числителе у него разница средних арифметических. В знаменателе – корень из суммы квадратов дисперсий (имеется в виду первый и второй случай тестирования). Чем больше разница между средними арифметическими, тем лучше (наш труд не остался напрасным), и чем меньше разброс значений в обоих случаях диагностики, тем тоже лучше: когда разброс значений больше, тогда и случайные колебания тоже больше.

Для применения данного критерия есть существенное ограничение – распределение показателей должно быть близко к так называемому нормальному (колоколообразному).

Существуют специальные критерии для определения степени нормальности распределения.

Корреляция

В психологии, как наверное ни в одной другой науке, любят находить коэффициенты корреляции. Существует несколько разных подходов, в том числе и для нормального, и для не нормального распределения. Все они показывают степень зависимости одного параметра от другого. Если один параметр (например, вес человека) сильно зависит от другого параметра (например, рост человека), тогда коэффициент корреляции будет близок к +1. Если зависимость обратная (например, чем человек выше, тем менее ловок он), тогда коэффициент корреляции будет стремиться к -1. Если зависимости нет (скажем, удачливость при игре в карты не зависит от роста человека), тогда коэффициент корреляции будет около 0.

Если взять группу испытуемых, зафиксировать их рост и вес, а потом результаты перенести на двухмерный график, то получится примерно следующая картина, которая свидетельствует о том, что корреляция положительная, примерно на уровне +0.5.

Факторный анализ

Наиболее, пожалуй, таинственный анализ. Некоторая загадочность его объясняется тем, что сам он предназначен для того, чтобы найти новый параметр, который многое объясняет, но при этом непосредственно в ходе эксперимента не исследовался. Как правило, в ходе факторного анализа находятся наиболее влиятельные параметры, от которых зависят более мелкие, частные.

Допустим, мы проводили исследование со школьниками. В числе прочих фиксировались следующие параметры: общая успеваемость, успеваемость по точным предметам, успеваемость по гуманитарным предметам, объем кратковременной памяти, объем и распределение внимания, активность мышления, пространственное воображение, общая осведомленность, общительность, тревожность. Если применить корреляционный анализ и составить так называемую матрицу корреляций (где отражена связь каждого параметра с каждым), то можно увидеть, что большинство этих параметров между собой хорошо коррелирует. Исключение составляет последние два, которые с другими связаны слабо. Уже глядя на эту матрицу можно предположить, что за большинством параметров стоит некий один общий (сверх-параметр), который на них на всех влияет. Мы проводим процедуру факторного анализа, и после этого в нашей матрице появляется еще один столбец – столбец без названия. Этот загадочный параметр очень хорошо коррелирует со всеми (кроме общительности и тревожности). После некоторого творческого раздумья психолог приходит к единственно возможной здесь интерпретации – загадочный параметр это есть интеллект. Он и влияет на все остальное, влияние его сильное, хотя и не стопроцентное.

Существуют методы факторного анализа, которые помогают выявить не один, а несколько факторов, которые влияют на другие параметры. Часто так бывает, конечно, что загадочный параметр оказывается не таким уж и загадочным, а полностью совпадает с одним из тех параметров, которые фиксировались. Но иногда бывает и так, что придется долго поломать голову прежде, чем удастся интерпретировать этот секретный фактор.

Факторный анализ применяется в основном учеными для глубокого понимания предмета исследования. При этом следует учитывать, что для точности результата необходимо довольно большое количество испытуемых: желательно, чтобы количество испытуемых в разы превышало количество параметров.

С помощью факторного анализа можно изучать качество психологических тестов. Если взять, например, какой-нибудь личностный опросник с несколькими параметрами, подвергнуть эти параметры факторному анализу, то может всплыть некий странный общий фактор, влияющий на все параметры. Значимого психологического смысла он может не иметь – это просто тенденция испытуемого отвечать так или иначе по формальному признаку (кто-то отвечает вдумчиво, кто-то склонен выбирать первые пункты из вариантов, кто-то последние). Большое влияние этого общего фактора может говорить о недостаточно качественной проработке заданий.

Литература

Ермолаев О. Ю. Математическая статистика для психологов: Учебник. - 2-е изд. испр. - М.: МПСИ, Флинта, 2003. - 336 с.

Математическая статистика является одним из основных разделов такой науки, как математика, и представляет собой отрасль, изучающую методы и правила обработки определенных данных. Иными словами, она исследует способы раскрытия закономерностей, которые свойственны большим совокупностям одинаковых объектов, основываясь на их выборочном обследовании.

Задача данного раздела состоит в построении методов оценки вероятности или принятии определенного решения о характере развивающихся событий, опираясь на полученные результаты. Для описания данных используются таблицы, диаграммы, а также корреляционные поля. применяются редко.

Математическая статистика используются в различных областях науки. К примеру, для экономики важно обрабатывать сведения об однородных совокупностях явлений и объектов. Ими могут являться изделия, выпускаемые промышленностью, персонал, данные о прибыли и т. д. В зависимости от математической природы результатов наблюдений, можно выделить статистику чисел, анализ функций и объектов нечисловой природы, многомерный анализ. Помимо этого, рассматривают общие и частные (связанные с восстановлением зависимостей, использованием классификаций, выборочными исследованиями) задачи.

Авторы некоторых учебников считают, что теория математической статистики является лишь разделом теории вероятности, другие - что это самостоятельная наука, имеющая собственные цели, задачи и методы. Однако в любом случае ее использование очень обширно.

Так, наиболее ярко математическая статистика применима в психологии. Ее использование позволит специалисту правильно обосновать найти зависимость между данными, обобщить их, избежать многих логических ошибок и многое другое. Нужно отметить, что измерить тот или иной психологический феномен или свойство личности без вычислительных процедур часто просто невозможно. Это говорит о том, что азы данной науки необходимы. Иными словами, ее можно назвать источником и базой теории вероятностей.

Метод исследования, который опирается на рассмотрение статистических данных, используется и в других областях. Однако сразу необходимо отметить, что его черты в применении к объектам, имеющим различную природу происхождения, всегда своеобразны. Поэтому объединять в одну науку физическую или не имеет смысла. Общие же черты данного метода сводятся к подсчету определенного числа объектов, которые входят в ту или иную группу, а также изучению распределения количественных признаков и применению теории вероятностей для получения тех или иных выводов.

Элементы математической статистики используются в таких областях, как физика, астрономия и т. д. Здесь могут рассматриваться значения характеристик и параметров, гипотезы о совпадении каких-либо характеристик в двух выборках, о симметрии распределения и многое другое.

Большую роль математическая статистика играет в проведении Их целью чаще всего является построение адекватных методов оценивания и проверка гипотез. В настоящее время огромное значение в данной науке имеют компьютерные технологии. Они позволяют не только значительно упростить процесс расчета, но и создать для размножения выборок или при изучении пригодности полученных результатов на практике.

В общем случае методы математической статистики помогают сделать два вывода: или принять искомое суждение о характере или свойствах изучаемых данных и их взаимосвязей, или доказать, что полученных результатов недостаточно для того, чтобы делать выводы.